徐利治

大连理工大学教授

 

（一）

 国际一流的对多元统计作出了卓越贡献的许宝騄先生离别人世将近30年了。今年2000年正好是许先生诞生90周年，相信海内外的弟子们都将以崇敬缅怀的心情来纪念我国这位世界级的统计数学大家和导师。

 40年代我求学于昆明西南联大（抗日战争年代由北大、清华、南开三校联合而成的大学）时期，由于钟开莱先生的热诚介绍，我有幸接触到许宝騄先生，并能不时从他那里得到教诲和指导，至今印象清新，仍历历在目。1948-49年许先生任教于北大，有一段时间长住一所德国医院疗养身体。那时我在清华做助教，曾多次进城去拜望许先生。他往往神态显得十分爽健，也很健谈，例如，可以从恩格斯的《自然辩证法》谈到国家大事和世界发展趋势等等。

 记得有一次许先生忽然告诉我，他很想读读《自然辩证法》。谈话中他很赞赏前苏联的数学成就，尤其是对Kolmogorov学派十分推崇。在1948年辽沈战役后，许先生已确信“国民党败局已定”，并对当年北大、清华的学生爱国民主运动十分同情，还提到了一二九运动时期他所熟悉的个别先进人物的名字…。

 以上所诉，都是50年前的事了。我的印象是，许先生作为体弱多病的杰出数学家，当年能深切关心国家大事、能接受先进思想且有明辨是非的爱国主义正义感，这在旧社会老一辈的知识界人物中确是难能可贵的！

(二)

1951年秋我从英国返回国内后，每次从清华去北大时总要抽时间去拜访许先生。1952年冬我调到长春吉林大学工作后，就不能走访许先生了。但只要每次到北京出差或开会时，也总要去看望许先生并且往往能长谈一二小时。

在与许先生多次接触交谈中，我感到在数学学术思想方面得到他的教益和启发是很多的。

我们知道，许先生是一位英国派硬分析工夫极深的数学家，理所当然地他对英国分析数学家Hardy与Littlewood是很称道的。但是有一次他却对我说，如果把Hardy的贡献与德国数学大家Hilbert的成就作比较，那么他认为：“每一个数学系毕业生可以不知道Hardy的贡献成果，但却不可以不知道Hilbert所贡献的数学知识。”这些话给我的印象极深而且在实际上对我产生了影响。

50年代初，王湘浩先生和我担任吉林大学数学系正、副主任期间，曾一致鼓励我们的同事江泽坚先生（也曾是许先生的学生）为本科四年级开设了“Hilbert空间理论”课。又为了相互配合我也曾为三年级学生讲授“Banach空间引论”课。就这样，通过教、学、研互相促进的办法，我们曾努力为本科生毕业前传授了Hilbert所贡献的重要知识，而这正是体现了许先生所说过的观点主张。（事实上，我们在西南联大时期，谁也没有学过这些课程。就我来说，我在清华大学任助教时，还不知道Hilbert空间与Banach空间的基本概念。）

50年代，在王湘浩、江泽坚二位鼓励下，我曾为吉大高年级生开设了一门课程，叫作“数学分析方法”（后来出版的书名为《数学分析的方法及例题选讲》）。这门课没有规定大纲，可以自由选材，故在讲课中能有一些灵活性与趣味性。但对选材是否恰当实不敢自信。于是趁赴京开会机会我曾把全部讲稿（书稿）带到许先生那里，当初只是想请他浏览指点一下。而使我特别感激的是，他竟十分乐意花时间将全部书稿仔细审阅一遍，还帮助作了修订和润色，以致使书稿增色不少，从而能在出版后得到数学专业师生们的广泛采用。

记得在讨论书稿的选材问题时，许先生很是赞赏“Abel方法”（分步求和法及其变种）被置于首要一章的地位。他认为经典分析学中的Cauchy-Weierstrass惯用取优函数法或取绝对值法来判别无穷级数与无穷积分的敛散性状时，实际上是排除了大量可判别的例子，而Abel方法恰恰是突破了原有判别法的局限性，使得具有“奇异振荡性质”的级数与积分的敛散性，也纳入可判别范围。但很可惜的是现代一般高等数学教材中，常常忽略了Abel方法的应有地位。许先生还特别指出“Abel方法”与“不等式”是分析学领域中的两套重要工具，例如英国的Hardy-Littlewood学派的许多漂亮工作，包括Hardy的名著《发散级数》等，也都是这些工具灵活运作的结果。所以他很是赞同并出了些主意要求在我的书稿中突出上述分析工具应用上的灵活性与广泛性。

50年代至80年代上述拙著已由高教出版社再版重印数次，累计发行达5万余册，也算是一本畅销书了（1983年的修订版还获得国家优秀教材奖）。这一切都应感谢许先生当年的指点和帮助。

（三）

在海内外我曾遇见过有些分析数学家，特别是一些搞应用分析数学的专家，在言谈中大多是不十分敬重抽象代数的。可是许先生却认为要搞代数研究，就应该研究抽象代数。

记得1944年左右，我在西南联大求学时曾一度喜欢代数学，有一次我去看许先生想问问他的意见。他立即告诉我说，数学是离不开抽象的，最基本最深刻的东西都是要经过抽象才能揭示或显示出来的。许多看来很难很复杂的东西一经抽象就显得简单而易于掌握了。所以要搞代数研究，就必须研究抽象代数。他说，他自己不搞抽象代数但他知道抽象代数主要是由德国数学家发展起来的。

同时他还说到，有些数学家一辈子搞的数学题材很具体很特殊，但也能有贡献。例如英国有位叫Muir的学者，数十年致力于行列式计算，他出版过一本巨著，算出了各种特殊类型行列式的数值。这其中并没有什么一般理论，但对于要用到特殊行列式数值的学者们，Muir的著作还是很有用的。他还认为在数学家群体中也不能缺少像Muir这样的人物。

由上可知，许先生的数学价值观念中，除了十分敬重抽象代数之外，也还充分肯定比较特殊的具体的数学分支的作用与价值。这很可能是他长期从事统计数学理论与方法应用研究经验中形成的价值观念（我个人也是很赞同这种价值观念的）。

（四）

许先生出生于书香门第，自幼受过很好的文学熏陶，所以他善于运用形象思维的语言来解释现代数学基本概念产生的必然性。

例如，有一次在闲谈中他对我谈到拓扑学中“拓扑变换（或同胚变换）”的概念时，他说，当我们看到杨柳的摇曳或是小河流水的流动时，如果要把它们描述成是质点（或分子）集团的变换，那就只能而且必须抽象出“拓扑变换”（即双向连续的一到一映射）的概念。这也说明作为描述空间形体最一般变换的几何学——拓扑学的产生是十分自然的、必然的。

他的谈话还启发我联想到，如果当我们仰观天空看到亿多形状怪异、厚薄不匀的云彩时，设想采用Jordan量度法去度量它的体积，可以想见那显然是不可能得到精确结果的。而要想从理论上能精确无误地量出其体积，那就必须采用容许“可数无限可加性”（所谓σ-可加性）的Lebesgue测度法。这样看来，人们为了发展无限精度的测量各种点集容积的技艺，Lebesgue测度论的出现也是很自然的事情。

江泽坚告诉我，他听过许先生有关概率统计学的报告。他说许先生讲演的特点是，许能慢条斯理地用不多的言词，阐明事情的要点、关键和概貌。表面看讲话时间不长，但内容信息量还是很多的。我猜想，这也与许先生的古文修养有关，因为中国的古文（或文言文）就体现着意义表述方面的简明、概括和浓缩化的特点。

许先生在西南联大讲过“微分几何”课，我曾听过他两堂课。看来他讲这门课只是一种“任务”，而本人并不感兴趣。上第一堂课时他就坦率地向学生们声明说微分几何只是微分学的一种应用而已，方法技术比较单调乏味。我想这些话肯定会挫伤当时学生们的学习积极性，看来是不符合“教学心理学”原则的。但是他却用不多的语言成功地概述了古典微分几何学的基本思想方法。只要懂得这些思想方法自学微分几何就不难。这也就是为什么当年我只听了两堂课而不再继续听下去的道理。现在回想起来也有些后悔，因为许先生的讲课艺术确实是有很多可学之处的。

（五）

有时候许先生也和我谈到数学史。他认为笛卡尔引进变量概念将形与数对应联系起来而发明解析几何学实是人类数学史上最伟大的事件。从而相对说来，后来牛顿和莱布尼茨发明微积分学就要容易一些。我认为许先生的说法是很有道理的，但猜想分析学家们也未必都会同意这种观点，因为考虑到微积分包含有极限观点。

还有一件鲜为人知的事情是，许先生至少并不欣赏Cantor的无穷集合理论和超穷数论。许先生并没有直接对我说过他不喜欢Cantor集合论，而有关情况都是由王湘浩先生30年前告诉我的。

40年代王湘浩在西南联大讲过“集合论”课程，而我是选修课学生之一。王和江泽坚后来和我又在吉林大学共事二十多年，所以我从他们那里也闻知一些有关许先生在昆明时期的故事。

一个有趣的故事是江泽坚告诉我的。许先生当年在西南联大简陋的教室讲课，往往无法听到上下课的摇铃声，而他又没有手表，于是每次上课时他就将装有一只闹钟的布袋放在讲台上。当上课的学生们第一次忽然听到讲台上布袋里铃声大作，而许先生又笑着说了一声“下课了”时，大家真是惊喜交加。

回到正题，再谈一点许先生的“无限观”以及有关王湘浩先生和他的意见分歧。今日看来，他们的两种观点都不错，只是要看你选取哪一种“无限模式”的问题。归根到底，人们关于无限与无穷集合观点上的基本分歧都表现在对“自然数无限性”的看法上。

大家知道，自古以来“潜无限论者”把自然数序列理解为永远延伸着的序列：1,2,3,…,n,…。在这个序列中，自然数不断被创造，但是永远创造不完的。因此它是一个开放的不能完成的进程，从而不能成为一个整体性的集合（所谓“序集”）。

持此种“潜无限”思想观点的著名数学家有Gauss，Kronecker ，Poincaré，Brouwer，Weyl等。近、现代的数学直觉主义派，即坚持以潜无限观点为基础。

另一方面，“实无限论者”把自然数序列理解为“从延伸到穷竭”的过程，因而形成一个完成了的无穷集合{1,2,3,…,n,…}。Cantor的超穷集合论就是从这里开始的。

赞成“实无限”思想观点的著名人物有Dedekind，Weierstrass，Hilbert，Russell，Gödel等。近、现代的数学公理主义派是认可Cantor的基本贡献的。事实上，现代数学诸分支的理论表述形式大都采用了实无限观点和Cantor所创始的集合论语言。

王湘浩先生和我都是赞赏Cantor集合论的。但据王所说，许先生曾把Cantor的一套实无限思想评议为“唯心论的东西”。王先生当然不同意这种说法，而且还带有一点激情地评议说，“不相信Cantor集合论真理那倒真可能是唯心论了。”

自从60年代A.Robinson创始“非标准分析”以来，人们已经在超实数域*R上作成许多事情。特别，利用*R中的超自然数集*N的部分内容可以构筑自然数序列的“双相无限模型”。这种模型包含着“潜无限”作为其片段，而且还包含有“实无限”作为飞跃段。因此，从“数学模型论”观点来看，只要抓住不同侧面特征来表述自然数的各种无限性，就可以分别有“潜无限模式”、“实无限模式”和“双相无限模式”。这些模式都是彼此独立的但都具有逻辑合理性与形式客观性。这就表明在各种可能的无限观之间并不存在谁对谁错的问题。进而可知，曾于20世纪上半叶彼此争论了数十年的直觉主义派与公理主义派，也并不存在谁对谁错的问题。应该说，各自的理论都没有错，但各自坚持自己认可的“无限模式”而否定同样客观地存在的另外模式，则就造成争论之源了。

同样的分析可以得知，关于王湘浩先生与许先生对待集合论的意见分歧，也不存在对或错的问题。本质上他们的分歧反映了公理主义派与直觉主义派的基本分歧，但他们本人未必意识到这一事实。很遗憾，曾是我大学时代老师的许、王两位先生已先我而逝了。要是他们能活到今天，能同他们一起讨论客观存在的三种无限模式，进而共同认识数学真理不拘一格，那将是多么高兴而愉快的事！

熟知，已为现代计算数学界普遍欢迎的自觉主义派的一条重要原则是“存在即构造”。显然，凡是联系实际应用的统计数学理论也必定是要强调上述原则的。这样说来，许先生之自觉和不自觉地采用自觉主义派的观点立场，也就十分容易理解了。

(六)

关于许先生的个人生活历史我知道的很少。我只知道他在抗日战争年代单身耽在昆明的那段时期的生活是十分艰苦俭朴的。他住一间宿舍，既是卧室又是书房，除了书桌、床铺和一块大黑板外，别无其它大型家具。

他的黑板上有时写些数学之类的题材。有一次我看到黑板上写着一对数论上的Möbius反演公式，那是钟开莱先生的笔迹。我没有问许先生但立即联想到那一定是我的另一位老师华罗庚先生传去的信息。那是1944年左右华先生曾出差去重庆一次为当时的国防部长俞大维解决了一个关于日军军用密码的破密问题。华先生发现密码的转换工具即数论中的Möbius公式（这对我们当时选修数论课程真是一种意外的鼓舞）。华先生回到昆明后信息很快传遍数学系，所以许先生和钟先生讨论Möbius公式想必是出自好奇心的驱动，显然也表明许先生对新鲜事物的关注。

在昆明时期，许先生的衣着也很简朴。他喜欢穿一件风雨衣出外散步。在校园附近漫步时学生们常能看到他的儒雅风度。

据我所知，那时期他的大弟子钟开莱先生（我曾向他学习了概率论）和他的交往较多。钟和许一样也是一位才智出众的人物。他俩出生于历史名城杭州市，都对中国古典文学有深深的爱好和素养，他俩都能写出典雅的中文文章和英文文章，这似乎是一般数学研究工作者所难以企及的。我想，他俩之具有高水准的东西方复合型文化的教养与素质，都是事业成功的重要因素，也是两人间师生友谊经久不衰的原因之一。

熟知40年代前英国著名经济学家Keynes的学说曾盛极一时。Keynes还是一位数学家，出版过论述“概率概念”的专著。在昆明时许、钟二先生还讨论过Keynes著作的翻译问题。看来他俩对Keynes的概率论基本思想都是比较赞赏的。

钟对许先生在统计数学领域的贡献是非常崇敬的。80年代中期，在旅美华裔统计学家郑清水的协助下，曾由德国Springer出版社委托钟主编出版了英文版的《许宝騄选集》。无疑，这是对世界统计数学文库的重要贡献。后来又在钟开莱、郑清水、徐利治联名倡议下，创立了“许宝騄概率统计数学奖”，并且发布了一次奖。但终于由于基金匮乏和人力不济等原因，未能使这项具有深远意义的数学奖顺利地继续运作下去。

1994年春我曾去Stanford大学钟先生家作客三天，谈起了多年前我访问Pittsburgh大学遇见印度著名数学家C. R. Rao的情形。钟说，“Rao是世界一流的统计数学家，而许先生是和他处于同等地位的。”事实上，Rao是印度民族的光荣，而许宝騄是中华民族的骄傲。

许先生一生淡泊明志，为人谦和，热心提携后进。晚年虽在体弱多病条件下，仍不遗余力地为提升我国统计数学事业作出了令人难忘的贡献。无疑，许先生的贡献、成就、学术思想和事业精神将会被后辈们永远纪念和怀念。

 

（2000年3月25日于北京）

  注：作者许利治(1920--)是大连理工大学教授。