编者按：以坚韧与温柔之力量，探索广阔的数学世界；用蓬勃的研究热情，追寻光荣与梦想。笑靥如花，乘风破浪；可飒可酷，可甜可暖。成为一名数学研究者，从来都无关乎性别。今天是“三八”国际妇女节，我们特专访青年数学家汪璐校友。2022年，她即将登上国际数学家大会（ICM）的演讲台，成为13位北大受邀报告人中唯一的女性数学家。
汪璐，2002年至2006年就读于bat365中国在线平台官方网站，获学士学位，2011年获麻省理工学院博士学位。现任耶鲁大学教授。主要研究领域是几何分析和几何偏微分方程，特别是几何流、极小曲面、调和映射和极小极大理论。
Q：当您得知受邀成为ICM报告人的时候，您有什么感想呢？
A：首先我觉得还是挺惊喜的，我没有想到自己会收到邀请，这在一定程度上是对我之前工作的一种肯定和认可。其次我认为数学家大会是一个很好的机会，能跟各个不同领域的数学家进行很直接的交流，可以了解到我本领域以及其他数学领域的一些最新和最前沿的发展。
Q：今天是三八妇女节，作为杰出的女性数学研究者，您认为女性在数学学习和研究中会存在特别的优劣势吗？
A：我认为数学学习和研究与性别并没有明显关联性，欢迎每一个对数学抱有兴趣和热情的人投入其中。
Q：您在几何分析的很多领域或分支上都做出了重要贡献，您会在ICM上选哪一方面进行汇报呢？
A：主要以平均曲率流为主，其中选讲跟Colding-Minicozzi entropy有关的内容，因为这是我近期比较专注的一些工作。
Q：您在平均曲率流领域有很多重要的研究工作，能给大家介绍一下该领域研究的重要性吗？为什么您会关注到这一领域？
A：通俗地说，我研究的实际上是一种事物的形状随时间演变的过程，有很多例子，比如冰融化的过程、热的扩散的过程，都是比较典型的一些例子，虽然不见得这些过程真的是我研究的平均曲率流，但它也是evolution equation（发展方程）的一种。平均曲率流在几何分析中是一个历史悠久的研究对象。它起源于材料学，从材料学中抽象出数学模型、用各种方法对它进行研究。而且它本身和除了几何以外的多个方向都有联系，包括非线性方程、变分法等。平均曲率流跟里奇流之间也是有非常玄妙的关系，他们是非常不同的研究对象，但比较两者，你会发现他们的发展是非常平行的，彼此互相启发。这里有很多有趣的问题。比如，里奇流也研究几何流的正则性问题，它会产生什么样的奇点，并在奇点附近做渐进分析。还要研究怎样能构造一些弱解，让它克服这些奇点、让流能“连续地流过奇点” (continue through this singularity)。此外，还有研究长时间的渐进行为。它还在低维拓扑或其他科学领域有所应用，比如材料学、计算机、图像处理等领域。
Q：现在平均曲率流研究的主要工具有什么？
A：这方面的工具其实挺多的，以研究奇点为例，用Blow-up Analysis（爆破分析）时，会涉及到解的紧性，也即取一列解，研究它们是否能收敛；也涉及到Monotonicity formula（单调性公式）。那么如何将流的解continue through this singularity（连续地流过奇点）？其中一个办法是用一些Topological Surgery（拓扑手术）来解决flow continuation（让流连续流下去）这类问题。此外，还有很多PDE的工具可以用来研究几何流，因为从方程角度看，它是非常典型的一个Quasi-linear Parabolic equation（拟线性抛物型方程），相当于某种non-linear analogue heat equation（非线性型热方程）。
Q：您认为里奇流和平均曲率流之间最大的区别是什么？工具或者方法上有何差异？比如平均曲率流中强有力的工具（障碍函数）barrier function可能在里奇流里面不太好用，请问您怎么看待这种区别？
A：其中一个重要区别是，因为我主要研究的是余维数为一的平均曲率流，所以局部上可以表示成关于一个函数的方程。然而，里奇流相当于一个system of equations。有些工具，例如极大值原理的具体应用会不同。
Q：平均曲率流里有很多典型的例子，您是如何看待这些例子给您带来的直观影响？或者在您的研究过程中，这些例子会给您带来什么帮助吗？
A：例子当然是很重要的。比如，平均曲率流中最重要的例子之一是dumbbell（哑铃）。在平均曲率流下，它会在有限时间内pinch off（掐断）。严格证明pinch off实际上就用了一个极值原理，这个极值原理的比较对象实际上是一个自相似解，这个自相似的解在构造方面其实并不复杂。由于它是个旋转对称的解，所以可以转化为ODE问题，再用ODE的方法来构造这个解。这个例子告诉我们，它虽然看起来很特殊，但也可以应用到非常一般的情形，得到一些重要的、一般的平均曲率流的性质。在我的研究里，例子可以让我排除一些个人猜想，有时候你可能猜想一些事、一个结论，你只是有一些证据，但并不知道猜想是否正确。此时你掌握的例子可以帮你做排除，也即disprove your conjecture。
2011年汪璐于麻省理工学院毕业时和妈妈的合影
Q：您当初为什么选择做几何分析？在您的学术生涯里，哪些老师或什么事情让您印象深刻？
A：其实我本科时并不想做几何分析，我对几何分析也不很了解。我本科科研是跟杨家忠老师做的，我们当时做的是跟ODE的定性理论有关的东西，在申请时，我想申请动力系统方向。但是在美国，大部分动力系统都是放在应用数学里的，这跟我想申请理论数学的意愿略有违背，所以我就想申请（偏微分方程）PDE方向。ODE相当于单变量的函数满足一个方程，很自然地，想一般化就变成了PDE。拿到MIT的研究生录取Offer后, 和指导我本科毕业论文的刘张炬老师的交流也拓宽了我寻找研究方向的视野，去美国以后我选了一些课，感觉几何还是挺有趣的。基于此，几何跟PDE结合就是几何分析。正好是MIT当时刚刚招了我导师Tobias Colding，所以最后我决定跟他做这个方向。
Q：您的导师Colding是很著名的数学家，在这样的团队读博士，是否有什么有趣的事，或者是否有较大的压力呢？
A：他本人数学很厉害，但他又比较平易近人。在他面前，我不太感觉有压力。虽然他的指导不属于细致的类型，但和他讨论进展或事情时，他会分享自己的看法。而且，他比较善于鼓励学生，当你告知他自己想做什么问题，他总是能非常积极地发现这个问题有趣的地方。
Q：您本身的意愿是想从事PDE相关的研究，基于课程学习又了解到几何中很有趣的问题，您表示想把二者结合。那么，您是如何做到将几何和方程很好地联系起来呢？
A：其实这方面我也没有特别擅长，我主要是通过学习和阅读别人的文章、借鉴别人的想法。比如，PDE中常见的极大值原理，它是分析中的一个技术，即你构造好辅助函数，验证它满足的一些不等式，就能应用极大值原理得到先验估计。但在几何流里，它会告诉你一些几何的想法，如为什么要构造这个类型的辅助函数。有的时候其实是先画图，再由这个图转化成数学式子，应用其他定理得出一些估计，这个估计可以解释为一些几何的直观。
Q：除了几何流，您还对其它研究领域感兴趣吗？或者计划将来在别的领域做一些工作吗？
A：有，我虽然主要做几何流，但也关注其他领域的发展。举个例子，最近有一些流体力学中的方程问题，我也觉得非常有趣，我最近开始follow相关的一些工作，但还没有真正开始那方面的研究。
2021年在加州理工学院
Q：您是如何保持这种的高强度的科研投入和产出的？
A：首先，我觉得不同的人对高强度的定义不一样。我并不觉得我的工作强度非常大，但我觉得要想长期进行研究或持续某一方面的工作，你肯定要有一定的热情，如果你对一个东西不感兴趣，也许你只能在上面花一两天时间，就想转移到别的问题或者是别的领域去了，我觉得兴趣是保持长时间专注工作的最重要因素。
Q：您在科研初期有没有遇到一些瓶颈或困难？您是怎么克服这些瓶颈和困难，最后成功的呢？
A：万事开头难，我刚读研究生的时候也不太了解几何分析这个领域，很多背景知识都不了解。懂得少就没有太多想法，问题就容易停滞不前。我觉得此时应该多跟其他人交流，可以跟自己的导师交流，更重要的是跟同学、跟其他同行交流。比如你可以多参加讨论班，了解别人的结果和想法；可以参加会议，去跟外校的人讨论。也许他们会对你现在停滞不前地方有一些建议。如果一个人闷头苦恼、不跟别人交流，就容易钻牛角尖，也不见得会有进展。
Q：您参与了不少教学工作，您觉得教学和科研有何异同，或者说您在人才培养方面有什么经验？
A：教学最开始容易被当成负担，因为起步时教学内容可能是微积分或者一些非常基础的课程，跟我们的研究没有直接联系。一段时间后，我发现教学的作用之一，是它可以稍微减轻或者平衡我们的研究压力，因为有时候我们只做研究，可能一天毫无产出，会感到沮丧。但如果此时有些教学，我们可以从教学中得到成就感，平衡在研究方面的压力。再往后，我们有机会教一些跟自己研究相关的课程，比如几何或者PDE进阶课程，此时我们可以容易地把自己的研究跟教学结合起来，就不会觉得枯燥了。带学生方面，我其实也没什么经验，目前正式带的学生只有一个，应该今年毕业。总体来说，我觉得带学生非常困难，是一件非常不平凡的事情。
Q：您有哪些特别的研究习惯吗？有没有在特定的做某件事情的时候，突然迸发很多的数学的灵感？
A：我并不会有一个特别严格的行程表，比如说这个时间点我就要想这个问题，我习惯装几个问题在脑子里，当脑子里装有问题时，完全可以在干别的事情的时候思考问题。我的经验告诉我，我10点以后想的东西都是不对的（笑）。我在书桌前的时候是最没灵感的时候。书桌前只能做一些比较日常的事情，比如说写个论文什么的，但是我个人比较喜欢去图书馆或者咖啡厅，去这种能够看到人的地方，思考一些事情或者问题。
2019年在纽约公共图书馆
Q：您小时候是怎么样受到数学启蒙，怎么样对数学开始感兴趣的，什么促使您选择数学这个专业？
A：其实我很小的时候比较喜欢语文，也比较擅长语文，尤其是写作方面。后来因为我们小学有一位教学很优秀的数学老师，她本人讲课非常有感染力，慢慢地听她的课，跟她接触，好像就会被她感染，就会尝试着去了解数学方面的知识或者题目。渐渐地，我的数学成绩已经远远超过了语文成绩，加上我化学、物理和生物的实验成绩非常差，最后就选择了数学。
Q：请问您当初为什么会选择来到北大学数学呢？
A：我想读数学，听说北大数学很好，我就来了。另外某种意义上，我比较喜欢文理结合的大学，正好数学也是北大比较传统的学科之一，我觉得如果分数够高，我还是很想来北大读数学。其实数学学得好的话，在各个领域都可以有应用。选择专业时可以先选择数学，后面如果想去做一些实际生活中数学的应用，你还是可以再选择金融等其他的方向。
Q：您在北大就读本科期间，有没有哪些前辈或者老师给您的印象特别深，对您之后的兴趣和学术产生了影响？
A：我觉得上过课的老师对我的影响都挺大。有直接影响的，比如带我做科研的杨家忠老师、指导我本科毕业论文的刘张炬老师; 有间接影响的，比如学长学姐，他们都很慷慨，愿意跟我们分享他们在学习生活中的经验，我觉得这些都让我受益匪浅。
Q：在您的本科阶段，有什么印象深刻的轶事分享吗？
A：学业方面，我印象比较深的是低年级讨论班，这个形式应该现在还有。同学中，我和王芳（现为上海交通大学长聘副教授）关系很好，我们一起上课，一起做本科科研，一起申到MIT，在MIT继续做室友。其实我们不仅是MIT的室友，还是MIT一个办公室的。因为我们这一代大多是独生子女 ，有这么一个室友、同学，会觉得干什么事情都没那么孤单了，可以起到互相陪伴和促进的作用。
Q：毕业之后，还和北大保持密切的联系吗？
A：因为我家就在北京，所以我回家时一般都会回北大看看老师，见见同学，短期访问。基本上，我会参加夏天数学中心或学院组织的活动。目前还没有交流很频繁的合作者，但希望将来有机会去访问，跟北大的师生建立一些联系。
Q：您怎么看待当年北大浓厚的学术讨论氛围？
A：我觉得这种氛围是很好的，我们也把它带到了国外。以前我们办公室有中国人和外国人，有个外国人经常开玩笑，说中国人讨论常有中文加上一些英文的表达，他们觉得非常热闹和有趣。其实，这种讨论习惯一直都保存在我们同学之间。
Q：您认为要成为一个合格的博士生，需要具备哪些品质？如果想从事几何分析的学习或者研究，需要有哪些知识上的储备？
A：我觉得合格的博士生需要具备很多素养。比如，耐心很重要，研究是需要很大的耐心才能进行下去。再如，我觉得做几何分析还需要锻炼好身体，我这是半开玩笑的，因为你要做好持久工作的准备，所以需要好的体力才能长久支持这种工作强度，对吧？另外，知识储备方面，肯定要打好基础，如一些基本的黎曼几何和基本的偏微分方程的知识。涉猎越多越广则越好。
Q：您认为学弟学妹们在本科或研究生阶段，需要培养哪些素质和能力？
A：我觉得本科阶段，主要专注学业。另外，沟通能力也比较重要。比如，你遇到困难时，需要跟别人解释你的困难在哪里，你的问题是什么，让别人理解你的问题和想法、有进一步交流。再比如，你已经得到了一些结果，需要把它写成文章，这时你是用书面的方式与读者交流。因此我觉得在研究和学习的过程中，与人沟通是无处不在的，只是体现为不同的形式。
Q：本科毕业时，同学们会面临方向的选择或出国还是保研的选择，对他们的迷茫，您有什么好的建议？
A：我觉得迷茫挺正常的，最终要听从自己内心的想法，不过多地受别人或大环境的影响。你据此做出选择，才不会后悔，我认为只要最终不后悔当初的选择，就是可以的。
Q：这两年疫情爆发，我们直观的感觉会带来一些不便，对您来说，疫情后的生活有什么改变？
A：因为疫情，很多社交活动都被中断了，但一个人思考的时间也就变多了，可以静下心来，没有什么太多外界的干扰，比如说不用去订飞机票，订宾馆，去现场参加一些会议，当然还是可以参加很多线上的活动，而且线上的活动现在可以有更多选择，因为不受一些客观条件的限制，只需要有一条网线，就可以参加世界各地的会议，跟世界各地的人交流。这样实际上节省很多在旅程中的时间，可以用这些时间来进行思考，也可以去探索一些新的领域。当然我还是希望疫情快点过去。
Q：作为女性数学工作者，您如何平衡工作与生活的关系？当您感觉压力太大的时候，您有什么调节的方式？
A：首先我的家人非常支持我，虽然他们跟我完全不在一个领域，父母其实不太明白我做的这些东西，但我很感激他们对我的支持。科研也会有遇到困难和烦恼的时候，我觉得你不要让自己困在原地，如果你觉得这个困难实在是太大了，你实在是搞不定它，按我老板的话，不如就put it away，然后找点别的事干。如果一直困在一个地方还是挺不好的。应该尽量地让自己无论是工作还是生活都要move on。
Q：您有没有其他的兴趣爱好，比如我们的老师们可能会在办公室里听音乐。
A：对，我想听音乐好像是很多数学人的爱好。看看电影也是比较好的一种放松方式。读研究生的时候，我经常打乒乓球，我觉得这好像也是在学数学的人中比较流行的一种运动。但是现在离开了集体环境以后，很难再找到能够固定打球的球友，除非参加半专业的俱乐部，但是我又没达到那个水平，我也只是想通过打乒乓球来进行健身。
Q：可以请您对北大的学弟学妹们说几句寄语吗？
A：我就送大家苏轼的一句话：博观而约取，厚积而薄发。比较呼应我刚才讲的很多内容，希望大家在学生期间能够抓紧机会多接触不同的人和事物，学习不同的知识，等到将来的研究工作中可以适时适当地使用它们。
